Построение функции состояния экономической системы

Введение. Классическая модель математического описания экономических явлений обычно предполагает указание численных соотношений между параметрами задачи. Например, надо знать матрицу затрат или платёжную матрицу как наборы чисел, указать вид функции полезности или функции спроса как некоторый график, то есть опять же как набор чисел на плоскости и т.п. Но результат обычно оказывается зависящим от случайных факторов, и для большей адекватности модели приходится использовать вероятностный характер вводимых величин. Вид вероятностных законов распределения случайных величин приходится задавать самостоятельно, исходя из дополнительных соображений. Имеются попытки решить данную проблему, меняя булеву логику на логику с принципом дополнительности [3]. С другой стороны, имеется хорошо разработанный математический аппарат, для которого функция распределения является решением некоторой особой математической формулировки задачи. Это аппарат квантования, суть которого состоит в замене алгебры параметров задачи с числовых величин на операторные. Тогда соответствующие функциональные уравнения заменяются на операторные, а решением операторных уравнений оказываются функции, модуль квадрата которых как раз и является функцией распределения.
Общая формулировка математической модели. Математически конструкция выглядит следующим образом:
– вводятся основные параметры системы, которые рассматриваются как переменные величины;
– для этих параметров определяется правило коммутирования. Фактически необходимо понять: могут ли эти параметры быть собственными значениями одной и той же функции состояния экономической системы. Экономически это можно понимать так: если реализовано численное значение одного параметра, то может ли быть реализовано точное значение другого параметра. Если ответ положительный, то параметры считаются коммутирующими. Если ответ отрицательный, то задаются коммутационные соотношения между ними. По виду коммутационных соотношений составляется представление задачи;
– определяется либо некоторая инвариантная величина всей системы в целом, либо так называемый гамильтониан системы, то есть величина, относительно которой составляются уравнения движения. Гамильтониан строится в новом представлении переменных величин как естественный аналог классических уравнений системы. Заметим, что в этой статье реализован гамильтонов формализм;
– решением гамильтоновых уравнений являются функции состояния экономической системы, которые должны удовлетворять условию нормировки на единицу. Природа этого условия понятна из следующих соображений: состояние системы в представлении параметров-операторов является оператором. Данный оператор определяется на множестве функций, которые называются функциями состояния . Пусть над пространством функций  определено дуальное пространство * относительно некоторого линейного преобразования l(). Это может быть норма *, линейная по каждому из переменных. Взяв в качестве нормы * интеграл по всему пространству переменных и нормировав его на единицу, получим указанный выше смысл функции состояния – квадрат её модуля определяет вероятность нахождения системы в состоянии  с фиксированными значениями параметров.
Формулировка классической математической модели. Рассмотрим экономическую систему, которая описывается объёмом продукции q = (q1, q2,…, qn). Тогда за время dt = t2 – t2 продукт qk будет куплен в объёме dqk/dt. Поэтому цену продукции p = (p1, p2,…, pn) определим следующим образом:
, (1)
где mik – матрица коэффициентов пропорциональности. Фактически количество продукта и его цена имеют смысл желания продать товар и возможности его купить. Если возможность купить обусловлена только ценой, а желание продать – количеством продукта, то при увеличении количества продукта для продажи необходимо уменьшить цену продукта, поэтому можно определить функцию U(q) следующим образом:
(2)
(Роль функции U(q) может играть функция спроса или функция предложения, представленные в соответствующем виде. Конкретный её вид определяется постановкой задачи. В дальнейшем назовём её функцией влияния. Уравнение (2) в лагранжевом формализме получается как требование на экстремум некоторой инвариантной величины. Математически аппарат хорошо разработан [1], поэтому здесь воспользуемся некоторыми готовыми результатами этого аппарата.) Вместо детерминированных уравнений (1 – 2) можно воспользоваться гамильтоновым формализмом. Для этого возьмём так называемый гамильтониан системы H
, (3)
для которого вводятся скобки Пуассона:
(4)
Тогда уравнения (1 – 2) примут вид (точка сверху означает полную производную по времени):
. (5)
Если система консервативна, то есть явно не зависит от времени, то гамильтониан H системы соответствует постоянной энергии E системы. Как видно из уравнения (3), постоянная энергия системы E без функции влияния – это половина квадрата её цены (считаем m = 1).